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Heisenbergsche Unschärferelation

Einleitung und Historie:
Im Jahre 1927 hat der Physiker Werner Heisenberg intensiv die Messung physkalischer Größen untersucht. Dabei hat er insbesondere über die gleichzeitige Messbarkeit von Ort und Impuls eines mikrospkopischen Teilchens nachgedacht. Seine grundlegende Erkenntnis war, dass man nicht Ort und Impuls eines solchen Teilchens mit beliebiger Genauigkeit messen kann, sondern dass es eine prinzipielle Grenze für die Messgenauigkeit gibt.


Herleitung der Unschärferelation am Beispiel von Elektronen am Spalt:


Beugung von Elektronen am Spalt:
Unschärferelation

Wenn ein Elektron einen Spalt der Breite Δx passiert, dann ist sein Ort mit einer Genauigkeit von Δx festgelegt. Aus Messungen mit Elektronen an Gittern wissen wir, dass die Elektronen an Gittern gebeugt werden, d. h. diese Elektronen haben nach dem Passieren des Spalts einen geänderten Impuls (zur Seite). Die Änderung des Impulses Δp wird als Impulsunschärfe bezeichnet.
Je enger der Spalt und damit Δx wird, desto größer wird die Beugung und damit die Impulsunschärfe Δp.
Hinweis: In unserem Beugungsexperiment mit Elektronen hatten wir festgestellt, dass Elektronen an sehr engen Gittern stark gebeugt und an Gittern mit größerem Gitterabstand weniger stark gebeugt werden.
Mit einer kleinen Abschätzung (an dieser Stelle kommt eine kleine Ungenauigkeit in die Herleitung) kann die Impulsunschärfe Δp festgelegt werden:
Das Maximum 0. Ordnung ist das Intenstätsmaximum, d. h., die meisten Elektronen erreichen den Schirm im Bereich zwischen den 1. Minima.
Bei der Beugung am Spalt gilt für die Lage der Minima: sinα=nλ/Δx mit n=1
und mit λ=h/p ergibt sich daraus: sinα=h/(pΔx).
Aus der Grafik kann abgelesen werden, dass sinα≈Δp/p ist. Diese Beziehung gilt nur für kleine Winkel.
Setzt man die beiden Ausdrücke für sinα gleich, so erhält man: Δx Δp ≈ h.
Hier fehlt noch ein Fazit!

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